\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[14pt, portrait, oneside,portrait,a4paper]{book}

% CENTER định các gói được dùng trong tài liệu.
\usepackage{amsmath, amssymb, latexsym, amscd, amsthm,amsfonts,extsizes,amstext}
\usepackage{float}
\usepackage{diagbox, eqparbox, hhline}
%\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{graphics, graphpap}
%\usepackage{makeidx}
%\usepackage{xspace}
%\usepackage{array, tabularx, longtable}
%\usepackage{multicol,color}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[notcite,notref]{showkeys}
%\usepackage{amsxtra,subfigure,fancybox,epsfig}
%\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{multicol,xcolor}
%\usepackage{epsfig} % for postscript graphics files
%\usepackage{epstopdf}
%\usepackage{cases}
%\usepackage{subfig}
\usepackage{amsmath, amssymb, latexsym, amscd, amsthm,amsfonts,extsizes,amstext}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{graphics, graphpap}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{xspace}
\usepackage{array, tabularx, longtable}
\usepackage{multicol,color}
%\usepackage[notcite,notref]{showkeys}
\usepackage{amsxtra,epsfig,subfigure,fancybox}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{cases}
%\usepackage{soul}
%\usepackage{subfig}
%\captionsetup{belowskip=6pt,aboveskip=5pt}
%\usepackage{diagbox, eqparbox, hhline}
%\setlength{\doublerulesep}{2.5pt}

%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{slavo}
%\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{vietnam}
%\usepackage{vnfonts}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphics}
\usepackage[portrait, top=2cm, bottom=2cm, left=3cm, right=2cm]{geometry}
%\usepackage[portrait, top=2.2cm, bottom=3cm, left=3cm, right=2cm]{geometry}
%=================
%=================
\makeindex
%\voffset =0in
%\hoffset =0in
%%Kích thước tính cho trang A4=210mm x 297mm
%\setlength{\evensidemargin} {-0.04cm}  %Lề phải 2.54cm-0.04cm=2.5cm
%\setlength{\oddsidemargin}{0.46cm}     %Lề trái 2.54cm+0.46cm=3cm
%\setlength{\textwidth}{16cm}            %Độ rộng khối chữ trong trang =15.5cm
%\setlength{\topmargin}{-0.24cm}          %Lề trên 2.54cm-0.04cm=2.5cm
%\setlength{\headheight}{0cm}             %Chieu cao cua Headerline
%\setlength{\headsep}{0cm}                %Khoang cach tu  Headerline tới khối chữ
%\setlength{\textheight}{24.2cm}             %Chiều cao khối chữ trong trang=24.2cm
%\setlength{\footskip}{60pt}
%\setlength{\baselineskip}{20truept}
%\baselineskip 0.8cm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}%Cách dòng 1.3
%%\setlength{\headsep}{2.5cm}
%\parskip 6pt %Các paragraph cách nhau thêm 1pt
%%\abovedisplayskip =6pt plus 6pt minus 9pt
%%\abovedisplayshortskip =0pt plus 6pt minus 9pt
%%\belowdisplayskip =\abovedisplayskip
%%\belowdisplayshortskip =\abovedisplayshortskip
%
%========================== Định nghĩa môi trường định lý, hệ quả,... ==========
\theoremstyle{plain}  %Kiểu plain: chữ nghiêng
\newtheorem{dl}{Định lý}[section]
\newtheorem{cor}[dl]{Hệ quả}
\newtheorem{problem}[dl]{Bài toán}
\newtheorem{main}[dl]{Định lý cơ bản}
\newtheorem{lm}[dl]{Bổ đề}
\newtheorem{prop}[dl]{Mệnh đề}
%\newtheorem{assumption}[dl]{Giả thiết}
\newtheorem{rem}[dl]{Chú ý}
\newtheorem {ass}{Giả thiết}[section]
\theoremstyle{remark} %Kiểu remark: chử ngả
%\newtheorem{note}{Chú ý}
%\newtheorem{vd}{Ví dụ}
\newtheorem{note}{Nhận xét}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[dl]{Định nghĩa}
\newtheorem{exam}[dl]{Ví dụ}

%==================== Định nghĩa fonts =========

%newcommand{\op}{{\cal L}}
%\newcommand{\lbar}{\overline}
%\newcommand{\bed}{\begin{displaymath}}
	%\newcommand{\eed}{\end{displaymath}}
%\newcommand{\bea}{\bed\begin{array}{rl}}
	%\newcommand{\eea}{\end{array}\eed}
%\newcommand{\ad}{&\!\!\!\disp}
%\newcommand{\aad}{&\disp}
%\newcommand{\barray}{\begin{array}{ll}}
	%\newcommand{\earray}{\end{array}}
%\newcommand{\diag}{{\rm diag}}
%\def\disp{ }
%\newcommand{ \mathbb{R} }{{\Bbb R}}
%\newcommand{\1}{\boldsymbol{1}}
%
%\font\vntime=vntime at 14pt %phông chữ ABC, cỡ chữ .VnTime (Roman) 13
%\font\vntimei=vntimei  at 14pt
%\font\vntimeb=vntimeb  at 14pt
%\font\vntimebi=vntimebi  at 14pt
%\font\vhtime=vhtime  at 14pt
%\font\vhtimei=vhtimei  at 14pt
%\font\vhtimeb=vhtimeb  at 14pt
%\font\vhtimebi=vhtimebi  at 14pt
%
%\def\rm{\vntime}  %định nghĩa \rm là phông mặc định
%\def\rmi{\vntimei}
%\def\rmb{\vntimeb}
%\def\rmh{  }
%%\font\mathrm=vhcentb at 20pt
%\font\bfa=vncentb at 14pt
%\font\vnarial=vnarial at 14pt
%\font\vncentn=vncentn at 17pt
%\font\vncenti=vncenti at 17pt
%\font\vncentbi=vncentbi at 17pt
%\font\it=vncenti at 14pt
%\font\bi=vncentbi at 17pt
%%\font\bf=vncentb at 14pt
%\font\bt=vncentb at 20pt
%\font\bfh=vhtimeb at 14pt
%\font\bfha=vhtimeb at 14pt
%\font\bfhb=vhtimeb at 18pt
%\font\bfhc=vhtimeb at 20pt
%\font\tenchuong=vnlincol at 14pt
%\font\dauchuong=vhbodo at 14pt
%\font\sodauchuong=vnstamp at 10pt
%
%\font\tenmuc=vntimeb at 14pt%for section
%
%\font\bfhl=vhtimeb at 24pt
%\font\dhqg=vhtimeb scaled 1800
%\font\tacgia=vhtimeb scaled 1500
%\font\tensach=vhtimeb scaled 2000
%\font\ten= vhtimeb scaled 1600
%%\def\rm{\vncentn}
%
%% font .VhCentury School book (hoa), tạo các chữ hoa nguyên âm đầu câu: á,...
%\font\vhcentn=vhcentn at 14pt

%font dùng trong bài tập

%=============================
%\newtheorem{dl}{}%[chapter]
%\newtheorem{proof}{Chứng minh}%[chapter]
%=============================

\renewcommand{\contentsname}{\centering{\bfh Mục lục}}
\renewcommand{\partname}{Phần}
\renewcommand{\tablename}{Bảng}
\renewcommand{\chaptername}{\bf{Chương }}
\renewcommand\bibname{\centering \bf{Tài liệu tham khảo}}
\renewcommand\indexname{\centering \bf{danh mục từ khoá}}
\renewcommand\figurename{Hình}
\renewcommand\appendixname{Phụ lục}
\renewcommand{\proofname}{Chứng minh}
%=============================
%\setlength{\hfuzz}{1pt}
%================ Quy định cách đánh số các counter.
%\renewcommand{\thepart}{}
\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{subsection}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{dl}}
%\renewcommand{\theequation}{\arabic{chapter}.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thefootnote}{(\arabic{footnote})}
%\renewcommand{\thedefinition}{\arabic{definition}}
%\renewcommand{\thedn}{\arabic{dn}}
%==============================================


% .........Viết tắt.......
% Chữ cái in hoa
% \newcommand{\eps}{\varepsilon}
%\newcommand{\To}{\longrightarrow}
% \newcommand{\h}{\mathcal{H}}
\newcommand{\s}{\mathcal{S}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\W}{\mathcal{W}}
\newcommand{\GG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
\newcommand{\BOP}{\mathbf{B}}
\newcommand{\BH}{\mathbf{B}(\mathcal{H})}
\newcommand{\KH}{\mathcal{K}(\mathcal{H})}
\newcommand{\Complex}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
\newcommand{\Polar}{\mathcal{P}_{\s}}
\newcommand{\Poly}{\mathcal{P}(E)}
\newcommand{\EssD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Lom}{\mathcal{L}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Lb}{\mathbb{L}}
\newcommand{\States}{\mathcal{T}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\ess}}
% MATH -------------------------------------------------------------------

\numberwithin{equation}{chapter}
\newcommand{\1}{\boldsymbol{1}}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\DeclareMathOperator{\inte}{int}
\DeclareMathOperator{\suppo}{supp}
\DeclareMathOperator{\trace}{tr}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
%\newcommand{\h}{\mathcal{H}}
%\newcommand{\s}{\mathcal{S}}
%\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\fB}{\mathfrak{B}}
\newcommand{\p}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\m}{\mathfrak{m}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\DD}{\mathbb{D}}
%\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
%\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\fE}{\mathfrak{E}}
\newcommand{\CE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\BL}{\mathbb{L}}
%\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{Z}}_+}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}_+}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
%\newcommand{\W}{\mathfrak{H}}
\newcommand{\HB}{\mathbb{H}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
%\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
%\newcommand{\BOP}{\mathbf{B}}
%\newcommand{\BH}{\mathbf{B}(\mathcal{H})}
%\newcommand{\KH}{\mathcal{K}(\mathcal{H})}
%\newcommand{ \mathbb{R}}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\Complex}{\mathbb{C}}
\newcommand{\BF}{\mathbb{F}}
%\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
%\newcommand{\Polar}{\mathcal{P}_{\s}}
%\newcommand{\Poly}{\mathcal{P}(E)}
%\newcommand{\EssD}{\mathcal{D}}
%\newcommand{\States}{\mathcal{T}}
%\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
%\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
%\newcommand{\seq}[1]{\left<#1\right>}
%\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
%\newcommand{\essnorm}[1]{\norm{#1}_{\ess}}
%\numberwithin{equation}{section}
%\newcommand{\1}{\boldsymbol{1}}
%\newcommand{\0}{\boldsymbol{0}}

%\textwidth 13.5 truecm
%vsize=21.1 truecm
%\parskip 1pt

\newcommand{\wdt}{\widetilde}
\newcommand{\wdh}{\widehat}
%\newcommand{\Lom}{{\mathcal L}}
\newcommand{\lbar}{\overline}
\newcommand{\bed}{\begin{displaymath}}
	\newcommand{\eed}{\end{displaymath}}
\newcommand{\bea}{\bed\begin{array}{rl}}
	\newcommand{\eea}{\end{array}\eed}
\newcommand{\ad}{&\!\!\!\disp}
\newcommand{\aad}{&\disp}
\newcommand{\barray}{\begin{array}{ll}}
	\newcommand{\earray}{\end{array}}
\newcommand{\diag}{{\rm diag}}
\newcommand{\subscript}[2]{$#1 _ #2$}
\def\disp{\displaystyle}
\newcommand{\rr}{{\Bbb R}}

\font\inh=cmr10 \font\cto=cmr10
\font\tit=cmbx12 \font\tmd=cmbx10 \font\ab=cmti9 \font\cn=cmr9
\def\ker{\text{Ker}}
\def\bar{\overline}
\def\hat{\widehat}
\def\a.s{\text{\;a.s.\;}}
\def\supp{\text{supp\,}}
\def\bnu{\boldsymbol{\nu}}
\def\bmu{\boldsymbol{\mu}}
\def\bdelta{\boldsymbol{\delta}}
\def\cal{\mathcal}
\def\b{\mathcal B}
\def\cL{\mathcal L}
\def\c{\mathcal C}
\def\r{\mathcal R}
\def\cc{\mathbb C}
\def\R{\mathbb R}
\def\II{\mathbb I}
\def\FF{\mathfrak F}
\def\fL{\mathfrak L}
\def\E{\mathbb E}
\def\XX{\mathbb X}
\def\TT{\mathbb T}
%\def\R {\mathbb R}
%\def\RR{\mathbb R}

\def\S{\mathbb S}
\def\CC{\mathbb C}
\def\KK{\mathcal K}
\def\ZZ{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\U{U^*(t,s)}
\def\X{X^*(t,s)}
\def\one{{\mathbf 1}}
\def\bA{{\mathbf A}}
\def\DD{{\mathbb D}}
\def\bC{{\mathbf C}}
\def\bD{{\mathbf D}}
\def\bE{{\mathbf E}}
\def\bF{{\mathbf F}}
\def\bG{{\mathbf G}}
\def\bH{{\mathbf H}}
\def\bI{{\mathbf I}}
\def\bJ{{\mathbf J}}
\def\bK{{\mathbf K}}
\def\bL{{\mathbf L}}
\def\bM{{\mathbf M}}
\def\bN{{\mathbf N}}
\def\bO{{\mathbf O}}
\def\bP{{\mathbf P}}
\def\bQ{{\mathbf Q}}
\def\bR{{\mathbf R}}
\def\bS{{\mathbf S}}
\def\bT{{\mathbf T}}
\def\bU{{\mathbf U}}
\def\bV{{\mathbf V}}
\def\bX{{\mathbf X}}
\def\bY{{\mathbf Y}}
\def\bZ{{\mathbf Z}}
\def\R {{\mathbb R}}
\def\bx{{\mathbf x}}
\def\by{{\mathbf y}}
\def\Lom {{\mathcal L}}

% Một số ký hiệu toán học Hy Lạp
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\Ga{\Gamma}
\def\ga{\gamma}
\def\al{\alpha}
\def\de{\Delta}
\def\Ld{\Lambda}
\def\ld{\lambda}
\def\vap{\varphi}
\def\eps{\varepsilon}
\def\ovl{\overline}
\def\leq{\leqslant}
\def\le{\leqslant}
\def\ge{\geqslant}
\def\geq{\geqslant}
\def\sg{\sigma}
\def\wtil{\widetilde}
%Mot so ky hieu tat
\def\diag{\text{diag }}
\def\rank{\text{rank }}
\def\b{\overline }
\def\im{\text{im\,}}
\def\ker{\text{ker}}
\def\bar{\overline}
\def\A{{\mathscr A}}
\def\B{{\mathscr B}}
\def\C{{\mathscr C}}
\def\D{{\mathscr D}}
\def\Er{{\mathscr E}}
\def\F{{\mathscr F}}
\def\G{{\mathscr G}}
\def\H{{\mathscr H}}
\def\K{{\mathcal K}}
\def\L{{\mathscr L}}
\def\M{{\mathscr M}}
\def\Nr{{\mathscr N}}
\def\O{{\mathscr O}}
\def\P{{\mathscr P}}
\def\Q{{\mathscr Q}}
\def\R {{\mathscr R}}
\def\SS{{\mathscr S}}
\def\T{{\mathscr T}}
\def\U{{\mathscr U}}
%Chữ các kiểu Caligraph
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cF{{\mathcal F}}
\def\cG{{\mathcal G}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cM{{\mathcal M}}
\def\cN{{\mathcal N}}
\def\cO{{\mathcal O}}
\def\cP{{\mathcal P}}
\def\cQ{{\mathcal Q}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}
\def\cU{{\mathcal U}}
% Ký hiệu toán học đậm
\def\one{{\mathbf 1}}
\def\bA{{\mathbf A}}
\def\bB{{\mathbf B}}
\def\bC{{\mathbf C}}
\def\bD{{\mathbf D}}
\def\bE{{\mathbf E}}
\def\bF{{\mathbf F}}
\def\bG{{\mathbf G}}
\def\bH{{\mathbf H}}
\def\bI{{\mathbf I}}
\def\bJ{{\mathbf J}}
\def\bK{{\mathbf K}}
\def\bL{{\mathbf L}}
\def\bM{{\mathbf M}}
\def\bN{{\mathbf N}}
\def\bO{{\mathbf O}}
\def\bP{{\mathbf P}}
\def\bQ{{\mathbf Q}}
\def\bR{{\mathbf R}}
\def\bS{{\mathbf S}}
\def\bT{{\mathbf T}}
\def\bU{{\mathbf U}}
\def\bV{{\mathbf V}}
\def\bX{{\mathbf X}}
\def\bY{{\mathbf Y}}
\def\bZ{{\mathbf Z}}
\def\ba{{\mathbf a}}
\def\bb{{\mathbf b}}
\def\bc{{\mathbf c}}
\def\bbd{{\mathbf d}}
\def\bbe{{\mathbf e}}
\def\bbf{{\mathbf f}}
\def\bbg{{\mathbf g}}
\def\bbh{{\mathbf h}}
\def\bbi{{\mathbf i}}
\def\bbj{{\mathbf j}}
\def\bbk{{\mathbf k}}
\def\bbl{{\mathbf l}}
\def\bbm{{\mathbf m}}
\def\bbn{{\mathbf n}}
\def\bbo{{\mathbf o}}
\def\bbp{{\mathbf p}}
\def\bbq{{\mathbf q}}
\def\bbr{{\mathbf r}}
\def\bbs{{\mathbf s}}
\def\bbt{{\mathbf t}}
\def\bbu{{\mathbf u}}
\def\bbv{{\mathbf v}}
\def\bbx{{\mathbf x}}
\def\bby{{\mathbf y}}
\def\bbw{{\mathbf w}}
\def\bbz{{\mathbf z}}
\def\TT{{\mathbb T}}
%\def\cF{{\mathfrak F}}

% Blackboard bold math alphabets
%Chữ rỗng ký hiệu tập hợp (chỉ áp dụng được cho các chữ hoa)
\def\AA{{\mathbb A}}
\def\BB{{\mathbb B}}
\def\CC{{\mathbb C}}
\def\EE{{\mathbb E}}
\def\II{{\mathbb I}}
\def\NN{{\mathbb N}}
\def\OO{{\mathbb O}}
\def\QQ{{\mathbb Q}}
\def\R {{\mathbb R}}
\def\WW{{\mathbb W}}
\def\XX{{\mathbb X}}
\def\YY{{\mathbb Y}}
\def\ZZ{{\mathbb Z}}
%================
% Một số ký hiệu toán học Hy Lạp
\def\Om{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\Ga{\Gamma}
\def\ga{\gamma}
\def\al{\alpha}
\def\de{\Delta}
\def\Ld{\Lambda}
\def\ld{\lambda}
\def\vap{\varphi}
\def\eps{\varepsilon}
\def\ovl{\overline}
\def\sig{\sigma}
\def\te{\theta}
\def\ka{\kappa}

% ===============
% Một số mũi tên
\def\ra{\rightarrow}
\def\Ra{\Rightarrow}
\def\la{\leftarrow}
\def\La{\Leftarrow}
\def\ua{\uparrow}
\def\da{\downarrow}
\def\LRa{\Leftrightarrow}
\def\R a{\rightrightarrows}

% ===============
% Một số ký hiệu đặc biệt
\def\suml{\sum\limits}
\def\maxl{\max\limits}
\def\supl{\sup\limits}
\def\liml{\lim\limits}
\def\intl{\int\limits}
\def\prodl{\prod\limits}
\def\yoda{Yosida\xspace}
\def\lip{Lipschitz\xspace}
\def\gato{Gâteaux\xspace}
\def\frechet{Fréchet\xspace}
\newcommand{\ind}{\boldsymbol{1}}
%============================

%For heading
\pagestyle{myheadings}
%\font\fhead= vncentb at 5pt        %font for page heading
%\font\fpart=vncoop at 24pt              %font for part mark
\newlength{\tdtrai}
\newlength{\tdphai}
\newlength{\kctdtrai}
\newlength{\kctdphai}
\newcommand\automakeheading [2]{%
	\def\trai{Chương \thechapter. #1}
	\def\phai{\thesection. #2}
	\markboth{\trai}{\phai}}

%\newcommand\manualmakeheading [2]{%
	%        \def\trai{#1}
	%        \def\phai{#2}
	%        \markboth{\trai}{\phai}}
%\End For heading
%============================
\usepackage{fancyhdr}
\fboxrule=2pt
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
	
	%\thisfancypage{
		%\setlength{\fboxsep}{0pt}
		%\fbox}{}
	%
	%\begin{center}
	%%\begin{tabular}{|c|}
	%%\hline
	%{{BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  }}\\
	%{\underline{TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH}}\\
	%             % \text{--------- o0o  ----------}
	%              [5cm]
	%{{MINH CHỨNG SẢN PHẨM}}
	%\\
	%{{ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ}}\\
	%\vspace{4cm}
	%{\large\textbf{TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH }}\\
	%{\large\textbf{ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG}}\\
	%\vspace{.3cm}
	%{\bf Mã số: B2015-27-15}
	%\\
	%\vspace{2.5cm}
	%{\qquad\qquad{Chủ nhiệm đề tài:}}
	%{\bf  TS.   Nguyễn Thanh Diệu}\\
	%\vspace{4cm}
	%{{Nghệ An  -  2017}}\\
	%%hline
	%%\end{tabular}
	%\end{center}
	%\pagestyle{empty}
	%\pagestyle{empty}
	\thisfancypage{
		\setlength{\fboxsep}{0pt}
		\fbox}{}
	
	\begin{center}
		%\begin{tabular}{|c|}
		%\hline
		{{BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  }}\\
		{\underline{TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH}}\\
		% \text{--------- o0o  ----------}
		[5cm]
		
		{{TRẦN BÍCH PHƯƠNG}}\\
		\vspace{4cm}
		{\large\textbf{ĐIỀU KIỆN SẠCH BỆNH VÀ TỒN TẠI\\ DỊCH BỆNH TRONG MÔ HÌNH DỊCH TỄ SIRS NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV}}\\
		
		\vspace{3cm}
		
		{\textbf{LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC}}
		
		\vspace{6.5cm}
		{{Nghệ An  -  2024}}\\
		%hline
		%\end{tabular}
	\end{center}
	%\newpage\newpage
	\pagestyle{empty}
	\pagestyle{empty}
	%\thisfancypage{\setlength{\fboxsep}{0pt}
		%\fbox}{}
	\begin{center}
		%\begin{tabular}{|c|}
		%\hline
		{{BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  }}\\
		{\underline{TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH}}\\
		% \text{--------- o0o  ----------}
		[4cm]
		
		{{TRẦN BÍCH PHƯƠNG}}\\
		\vspace{4cm}
		{\large\textbf{ĐIỀU KIỆN SẠCH BỆNH VÀ TỒN TẠI\\ DỊCH BỆNH TRONG MÔ HÌNH DỊCH TỄ SIRS NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV}}\\
		\vspace{.3cm}
		{\bf Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học}
		
		\vspace{.3cm}
		{\bf Mã số: 8.46.01.06}
		\\
		
		%\vspace{2cm}
		%{\textbf{LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC}}
		
		\vspace{3cm}
		{\qquad\qquad{Người hướng dẫn khoa học:}}
		{\bf  PGS. TS.   Nguyễn Thanh Diệu}\\
		\vspace{5.1cm}
		{{Nghệ An  -  2024}}\\
		
		%\end{tabular}
		
		\pagestyle{empty}
	\end{center}
	%\end{document}
	%\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont
	%\baselineskip 0.77cm
	%%%%%%%%%%%%%%%%%
	%\pagestyle{empty}
	%\begin{center}
	%%\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
	%\begin{tabular}{|c|}
	%\hline
	%\\
	%
	%\centerline{{BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  }}\\
	%\centerline{\underline{TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH}}
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\centerline{{BÁO CÁO TỔNG KẾT}}
	%\\
	%\centerline{{ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ}}
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%
	%\\
	%
	% \centerline{\large\textbf{TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH }}\\
	% \centerline{\large\textbf{ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG}}\\
	%\\
	%\centerline{\bf Mã số: B2015-27-15}  \\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%{\qquad\quad{Chủ nhiệm đề tài:}}
	%{\bf  TS.   Nguyễn Thanh Diệu}
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\centerline{{Nghệ An  -  2017}}\\
	%\hline
	%\end{tabular}
	%\end{center}
	%\newpage
	%
	%\pagestyle{empty}
	%\begin{center}
	%%\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
	%\begin{tabular}{|c|}
	%\hline
	%\\
	%
	%\centerline{{BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  }}\\
	%\centerline{\underline{TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH}}
	%\\
	%\\
	%\\
	%\centerline{{BÁO CÁO TỔNG KẾT}}
	%\\
	%\centerline{{ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ}}
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%
	%
	% \centerline{\large\textbf{TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH }}\\
	% \centerline{\large\textbf{ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG}}\\
	%
	%\\
	%\centerline{\bf Mã số: B2015-27-15}  \\
	%\\
	%\\
	%{\quad{Xác nhận của cơ quan chủ trì}}
	%{\qquad\qquad  Chủ nhiệm đề tài}
	%\\
	%\qquad\quad(\emph{ký, họ tên, đóng dấu})\quad\quad\qquad\qquad(\emph{ký, họ tên})\
	%\\
	%\\
	%
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\\
	%\centerline{{Nghệ An  -  2017}}\\
	%\hline
	%\end{tabular}
	%\end{center}
	%\end{document}
	\newpage
	
	\newpage
	
	%\addcontentsline{toc}{chapter}{Thông tin kết quả nghiên cứu (Tiếng việt) }
	\tableofcontents
	
	\newpage
	\printindex
	
	\newpage
	%\setcounter{section}{1}
	%
	\pagestyle{plain}
	\pagenumbering{arabic}
	\setcounter{page}{1}
	%\chapter*{Mở đầu}
	\newpage
	\addcontentsline{toc}{section}{\textbf{Mở đầu}}
	\centerline{MỞ ĐẦU}
	Những năm gần đây, mô hình toán học được sử dụng ngày càng nhiều để  kiểm soát bệnh truyền nhiễm.  Bernoulli \cite{Ber} lần đầu tiên sử dụng các phương pháp toán học để đánh giá tác động của vắc xin phong tránh bệnh đậu mùa. Tuy nhiên, mô hình toán học thực sự được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Kermack và Mckendrick \cite{KM, KM1}. Mô hình của Kermack và Mckendrick, ngày nay được gọi là mô hình SIR (Susceptible-Infected-Romoved). Mô hình SIR sử dụng để mô tả các mô hình dịch bệnh ở đó quần thể được chia thành 3 lớp: lớp cá thể dễ nhiễm bệnh (Susceptible), lớp cá thể nhiễm bệnh (Infected),  lớp các cá thể khỏi bệnh và sự miễn với loại bệnh đó (Romoved). Trong thực tế, có rất nhiều loại bệnh truyền nhiễm, cá thể nhiễm bệnh sau khi khỏi bệnh một thời gian sẽ có nguy cơ mắc bệnh trở lại. Trường hợp đó, người ta mô hình hoá mô hình dịch tễ bởi mô hình SIRS (Susceptible-Infected-Romoved-Susceptible). Mô hình dịch tễ SIRS thu hút được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học trong các tài liệu \cite[...]{GLM1,HZ1, KM1,   SLJJ1}. Thực tế, hàm lây nhiễm trong mô hình dịch tễ thường không được biết một cách chi tiết. Tuy vậy, một số tác giả đã đưa ra một số dạng hàm lây nhiễm để nghiên cứu mô hình dịch tễ. Trong \cite{KW1}, tác giả nghiên cứu mô hình dịch tễ SIRS tất định với hàm lây nhiễm song tuyến tính dạng $\beta SI$  và được mở rộng cho  mô hình mô hình SIRS ngẫu nhiên trong \cite{HZ1, SLJJ1}. Tuy nhiên, trong thực tế nghiên cứu cho thấy, hàm đáp ứng dạng song tuyến tính không phù hợp. Do đó, trong \cite{CS1}, Capasso và Serio nghiên cứu sự lây lan của dịch tả ở Bari năm 1978 đã nghiên cứu mô hình với hàm lây nhiễm dạng $\dfrac{\beta SI}{1+\alpha I}$, trong đó $\alpha$ là hằng số dương; trong \cite{AM1}, tác giả đã nghiên cứu mô hình dịch tễ với hàm đáp ứng dạng Beddington-DeAngelis $\dfrac{\beta SI}{1+\alpha_1 S+\alpha_2I}$. Gần đây, có nhiều công trình về mô hình dịch tễ bị nhiễu bởi nhiễu trắng và nhiễu màu (xem \cite{HZ,TDDK, KM1}). Việc xem xét có yếu tố nhiễu màu vào mô hình dịch tễ phù hợp với bài toán thực tế  trong mô hình sinh thái có những sự thay đổi đột ngột yếu tố môi trường (ví dụ việc chuyển mùa, thay đổi thời tiết, lũ lụt thiên tai v.v.) ảnh hưởng lên quần thể (xem \cite{Zhu2011}). Sự thay đổi  trạng thái môi trường thường được mô tả bởi xích Markov trạng thái hữu hạn. Gần đây, có một số nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên SIRS có bước chuyển Markov (xem \cite{HZ,TDDK}). Trong \cite{TDDK},  các tác giả đã nghiên cứu  mô hình SIRS với bước chuyển Markov  với hàm đáp ứng dạng tổng quát $SIF_1(S,I)$, trong đó $F_1$ là Lipschitz liên tục. 	Cụ thể, các tác giả đã xem xét mô hình sau:
	\begin{equation}\label{e1.1a}
		\begin{cases}
			dS(t)=\big(-S(t)I(t)F_1(S(t), I(t),\xi_t)+\mu(\xi_t) (K-S(t))\\
			\hspace{1.5cm}+\gamma_1(\xi_t)R(t)\big)dt-S(t)I(t)F_2(S(t), I(t),  \xi_t)dB(t)  \\
			dI(t)=\big(S(t)I(t)F_1(S(t), I(t),\xi_t)-(\mu(\xi_t) +\rho(\xi_t)\\ \hspace{1.5cm}+ \gamma_2(\xi_t)) I(t))dt+S(t)I(t)F_2( S(t), I(t),\xi_t)dB(t)  \\
			dR(t)=(\gamma_2(\xi_t) I(t) - (\mu(\xi_t)+\gamma_1(\xi_t)) R(t))dt,
		\end{cases}
	\end{equation}
	
	Trong đó $\{\xi_t,t\ge0\}$ là xích Markov liên tục nhận  giá trị trên tập $\mathcal M=\{1,2,\dots,m_0\}$, $F_1(\cdot), F_2(\cdot)$ là hàm dương, Lipchitz địa phương  trên $[0,\infty)^2 \times \mathcal{M}, B(t)$ là  chuyển động Brownian một chiều, tất cả tham số $K, \mu(i),$ $\rho(i),$ $\gamma_1(i),$ $\gamma_2(i)$ được giả thiết nhận giá trị dương với mọi $i\in\mathcal{M}$. $K$ là kích thước quần thể tối đa, $\mu(i),$  $\rho(i),$  $\gamma_1(i),$  $\gamma_2(i)$ lần lượt là tỉ lệ chết tự nhiên, tỉ lệ chết tăng lên do nhiễm bệnh, tỉ lệ mất miễn dịch sau khi khỏi bệnh, tỉ lệ khỏi bệnh. 
	
	Trong tài liệu tham khảo \cite{TDDK}, các tác giả đã phân loại dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ  \eqref{e1.1a} để trả lời  câu hỏi điều kiện nào thì mô hình tồn tại dịch bênh, điều kiện nào thì mô hình sẽ sạch bệnh theo thời gian. 
	
	Dựa trên tài liệu tham khảo \cite{TDDK}, trong luận văn này, chúng tôi tập trung  nghiên cứu  điều kiện cho mô hình dịch tễ SIRS ngẫu nhiên \eqref{e1.1a} sạch bệnh hoặc tồn tại dịch bệnh. %Trước hết chúng tôi, trình bày một cách chi tiết các kết quả đã được trình bày trong \cite{MJ1, ZJR}. Sau đó, chúng tôi cố gắng tìm cách cải tiến các kết quả này. 
	Với mục đích đó, chúng tôi chọn đề tài với tiêu đề "{\bf{\emph{Điều kiện sạch bệnh và tồn tại dịch bệnh trong mô hình dịch tễ SIRS ngẫu nhiên vơi bước chuyển Markov}}}".  
	
	Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương
	
	{\bf Chương 1.  Một số kiến thức chuẩn bị}.  Trình bày những vấn đề cơ bản nhất về giải tích ngẫu nhiên như quá trình Markov, phương trinh vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov và mô hình dịch tễ SIRS.
	
	{\bf Chương 2. Điều kiện sạch bệnh và tồn tại dịch bệnh trong mô hình dịch tễ SIRS ngẫu nhiên với bước chuyển Markov.}
	Chương này  là nội dung chính của luận văn,  trình bày về  mô hình dịch tễ ngẫu nhiên SIRS với bước chuyển Markovbao gồm chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của  phương trình, phân loại dáng điệu tiệm cận của mô hình và đưa ra các ví dụ số bằng phần mềm Matlab để minh họa kết quả lý thuyết tìm được.
	
	Luận văn được hoàn thiện tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thanh Diệu. Mặc dù học viên đã cố gắng, tuy nhiên vì hạn chế về kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự góp ý nhận xét của quý Thầy cô và người đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 
	
	\hspace*{6.5cm}                                                               \emph{Nghệ An,  ngày.....  tháng .... năm 2024}\\
	\hspace*{11cm}                                                                                                       \textbf{Học viên}
	\\                                   
	\\
	\\
	
	\hspace*{9cm}                                                                                    \textbf{Trần Bích Phương}
	\chapter{Các kiến thức chuẩn bị}
	\section{Quá trình Markov}
	Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về  quá trình Markov, điều kiện tồn tại phân phối dừng. Nội dung trình bày trong mục này được tham khảo từ tài liệu \cite{Stroock}.
	\section{Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov}
	Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về  phương trình vi phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov. Nội dung trình bày trong mục này được tham khảo từ tài liệu \cite{MY}.
	
	\section{Mô hình dịch tễ SIRS}
	Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về  mô hình dịch tễ SIRS bao gồm lịch sử nghiên cứu của mô hình, điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của mô hình dịch tễ ngẫu nhiên SIRS với bước chuyển Markov. Nội dung trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu \cite{HZ,TDDK}.
	\chapter{Dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ SIRS ngẫu nhiên với bước chuyển Markov}
	
	Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận văn, cụ thể, chúng tôi xét mô hình dịch tễ ngẫu nhiên với bước chuyển Markov được mô hình hoá bởi \eqref{e1.1a}. Chúng tôi chỉ ra điều kiện để mô hình \eqref{e1.1a} tồn tại duy nhât nghiệm ở Mục \ref{sec2.1}, điều kiện dịch bệnh tồn tại lâu dài trong mô hình được trình bày ở Mục \ref{sec2.2}, điều kiện để  mô hình sạch bệnh được trình bày ở Mục \ref{sec2.3}. Ngoài ra, chúng tôi trình bày một số ví dụ số minh hoạ cho kết quả chứng minh về lý thuyết đã được trình bày trương chương này.
	\section{Điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm dương}\label{sec2.1}
	Đặt $B(t)$  là chuyển động Brownian một chiều được xác định trên miền xác suất đầy đủ $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P} )$. Ký hiệu $Q=({q_{kl}})_{m_0\times m_0}$ các phần tử của chuỗi Markov $\{\xi_t,t\geq 0\}$ với giá trị trong $\mathcal M=\{1,2,\dots,m_0\}$ với $m_0$ nguyên dương. \\
	Có nghĩa là:
	\begin{equation*}
		\mathbb P\{\xi_{t+\delta}=l|\xi_t=k\}=
		\begin{cases}
			q_{kl}\delta + o(\delta)& \text{nếu  } k\ne l,\\
			1+q_{kk}\delta+ o(\delta) &\text{nếu   } k=l,
		\end{cases}
	\end{equation*}
	khi $\delta\to 0$. Trong đó, $q_{kl}$ là hệ số chuyển đổi từ trạng thái $k$ sang trạng thái $l$, $q_{kl}\geq 0$ nếu $k\ne l$ và 
	$q_{kk}=-\sum_{k\ne l}q_{kl}.$ Chúng ta giả sử rằng xích Markov $\xi_t$ 
	%là không rút gọn được (irreducible), có nghĩa là mô hình sẽ chuyển đổi từ một trạng thái sang một trạng thái khác. Dưới điều kiện này, xích Markov $\xi_t$ 
	có %1 hàm 
	phân phối cố định duy nhất $\pi=(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_{m_0})\in\mathbb{R}^{m_0}$ và
	%Ngoài ra, %Chúng ta giả sử rằng 
	xích Markov $\xi_t$ độc lập chuyển động Brownian $B(t)$. 
	
	Đặt $\mathbb{R}^{3}_+:=\{(x,y,z): x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\}$ và $\Delta:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3_+: x+y+z\leq K\}.$
	Phần trong $\{(x,y,z): x> 0, y> 0, z> 0\}$ của $\mathbb{R}^{3}_+$ được kí hiệu bởi $\mathbb{R}^{3, o}_+$. Trong bài viết này, chúng ta giả sử rằng $F_j(x, y, i)>0$ với mọi $(x, y,z, i)\in \Delta\times \mathcal{M}, \; j=\overline{1,2}.$
	\begin{dl}
		Với bất kỳ điều kiện ban đầu  $(S(0), I(0), R(0))\in\mathbb{R}^{3}_+$, phương trình \eqref{e1.1a} tồn tại một nghiệm duy nhất ${ \{(S(t), I(t), R(t)), t\geq0\}}$  và nghiệm vẫn thuộc $\mathbb{R}^{3}_+$ với xác suất 1. Hơn nữa, nếu $I(0)>0$ then $I(t)>0$ với mọi $t\geq 0$ với xác suất 1.
	\end{dl}
	\begin{proof}  Từ điều kiện các hệ số của phương trình là  liên tục Lipschitz địa phương, theo chứng minh của Định lý \ref{thm3.1.5}, với các giá trị ban đầu $(S(0), I(0), R(0))\in\mathbb{R}^3_+$ có một nghiệm địa phương duy nhất $(S(t), I(t), R(t))$ trên $t\in[0;\tau_e)$, với $\tau_e$ là thời điểm nổ. Để chứng minh nghiệm không nổ tại thời điểm hữu hạn, ta chứng minh $\tau_e=\infty, $ h.c.c.
		\\Lấy  $k_0$ đủ lớn sao cho  $S(0)$  $I(0)$ và $R(0)$ nằm trong khoảng $[\frac1{k_0}; k_0].$ Với mọi số nguyên  $k\geq k_0,$ xác định thời điểm dừng:
		\begin{multline*}
			\tau_k=\inf\Big\{t\in[0;\tau_e): \min\{S(t), I(t), R(t)\}\leq\frac1k\\\,\text{hoặc}\,\max\{S(t), I(t), R(t)\} \geq k\Big\}.
		\end{multline*}
		Trong chứng minh này chúng ta quy ước  $\inf\emptyset=+\infty$. Rõ ràng  $\{\tau_k\}$ là dãy tăng khi $k\to\infty$. Đặt $\lim\limits_{k\to\infty}\tau_k=\tau_\infty,$ ta có $\tau_\infty\leq \tau_e $ h.c.c. Do đó, nếu chúng ta chứng minh được  $\tau_\infty=\infty$ h.c.c thì $\tau_e=\infty$ h.c.c. Giả sử  $\tau_{\infty}<\infty$ thì tồn tại  $T>0$ và $\eps\in(0;1)$ sao cho
		$\PP(\tau_\infty\leq T)>\eps$,  tồn tại  $k_1\geq k_0$ sao cho
		\begin{equation}\label{e2.2}
			\PP\{\tau_k\leq T\}\geq \eps, \;\;\text{với mọi}\;\; k\geq k_1.
		\end{equation}
		Cộng từng vế của các phương trình trong hệ \eqref{e1.1a} ta được
		\begin{align}\label{e2.3bs}
			\frac d{dt}(S(t)+I(t)+R(t))
			&=K\mu(\xi_t)-\mu(\xi_t)(S(t)+I(t)+R(t))-\rho(\xi_t) I(t)
			\\& \leq  \mu(\xi_t)K-\mu(\xi_t)(S(t)+I(t)+R(t)) .
		\end{align}
		Do đó, với $t\leq \tau_k$ ta có 
		$$S(t)+I(t)+R(t)\leq M:=K+S(0)+I(0)+R(0).$$
		Xét hàm  $W: \mathbb{R}^3_+\to\mathbb{R}_+$  xác định bởi
		\begin{equation}\label{e2.2}
			W(s,i, r)=(s-1- \log s)+({i-1-\log{i}})+({r-1-\log{r}}).
		\end{equation}
		Sự không âm của hàm này có thể thấy được từ $[u-1-\log u]\geq0$ với mọi  $u>0$. Ta thấy rằng $V\in C^2(\RR^3_+;\RR_+)$. Với $(S(t), I(t), R(t))\in\RR^3_+$, cho $k\geq k_0$ và $T>0$ tùy ý, áp dụng công thức It\^o, ta có:
		\begin{align*}
			dW(S(t), I(t), V(t))&=L(S(t), I(t), V(t))dt\\&-\left(1-\frac{a}{S(t)}\right)S(t)I(t)F_2(S(t), I(t),  \xi_t)dB(t)
			\\&+\left(1-\frac{1}{I(t)}\right)S(t)I(t)F_2(S(t), I(t),  \xi_t)dB(t)
		\end{align*}
		trong đó $LV: \RR^3_+\to\RR_+$  xác định bởi
		\begin{align*}
			LV(s, i, v)&=(1-\frac{1}s)\big((1-q)\Lambda-(\rho+\mu)s-\beta si+\gamma_1 i+\gamma_2 v\big)+\frac{1}2\sigma^2i^2  \\&+(1-\frac{1}i)
			\big(\beta si-(\mu+\gamma_1+\nu) i\big)+\frac{1}2\sigma^2s^2
			\\&\leq K+\beta i+\frac{\sigma^2}2(s^2+i^2)
			\\& \leq K+\beta M+\sigma^2 M^2=:\bar K. \end{align*}
		Từ đó suy ra,
		\begin{multline}\label{e2.2}
			W(S(t\wedge\tau_k), I(t\wedge\tau_k), W(t\wedge\tau_k))\leq W(S(0), I(0), V(0))+\int_0^{t\wedge\tau_k} \bar Kd\tau \\+\int_0^{t\wedge\tau_k}[\sigma(I(\tau)-S(\tau))]dB(\tau).
		\end{multline}
		Lấy kỳ vọng hai vế ta có
		\begin{equation*}
			\EE W(S(t\wedge\tau_k), I(t\wedge\tau_k), V(t\wedge\tau_k)) \leq W(S(0),I(0), V(0))+\bar K\EE(t\wedge\tau_k).
		\end{equation*}
		Vậy
		\begin{equation}\label{e2.3}
			\EE W(S(t\wedge\tau_k), I(t\wedge\tau_k), V(t\wedge\tau_k))\leq W(S(0),I(0), V(0))+\bar K t.
		\end{equation}
		Đặt $\Omega_k=\{\tau_k\leq T\}$ với $k\geq k_1$, ta có $P(\Omega_k)\geq \eps$.
		Chú ý rằng $\forall\omega\in\Omega_k$ tồn tại   $k$ sao cho $S(\tau_k,\omega)$ hoặc $I(\tau_k,\omega)$ hoặc $V(\tau_k,\omega)$ bằng $k$ hoặc $\frac1k$ và do đó $W(S(\tau_k, \omega), I(\tau_k, \omega), V(\tau_k, \omega))$ không bé thua
		$$k-1-\log k\;\;\text{hoặc}\;\;\frac 1k-1+\log k.$$
		Như vậy
		$$S(\tau_k, \omega), I(\tau_k, \omega), V(\tau_k, \omega)\geq[k-1-\log k]\wedge[\frac 1k-1+\log k].$$
		Kết hợp  điều này và \eqref{e2.3} ta có
		\begin{multline*}
			\left[W(S(0),I(0), V(0))+\bar K t\right ]\geq \EE \left[1_{\Omega_k}(\omega)W(S(\tau_k, \omega), I(\tau_k, \omega), V(\tau_k, \omega))\right]
			\\
			\geq\eps[k-1-\log k]\wedge[\frac 1k-1+\log k]
		\end{multline*}
		với $1_{\Omega_k}$là hàm chỉ tiêu. Cho  $k\to\infty$ suy ra điều mâu thuẫn  sau
		$$+\infty>\left[W(S(0), I(0), V(0))+\bar K t\right]=+\infty.$$
		Do vậy $\tau_{\infty}=\infty, $ h.c.c, nghĩa là $\tau_e=\infty, $ h.c.c. 
		%\\Mặt khác, bằng phương trình thứ ba của hệ \eqref{e2.1}, chúng ta có thể thể hiện nghiệm {V(t)} như sau:
		%\begin{multline}\label{e2.2}
		%V(t) = e^{-(b+\frac{1}2\sigma^2_3)t+\sigma_3B_3(t)}[V(0)+\gamma \int_0^te^{(b+\frac{1}2\sigma^2_3)s-\sigma_3B_3(t)}I(s)ds]
		%\\ = R(0)e^{-(b+\frac{1}2\sigma^2_3)t+\sigma_3B_3(t)}+\gamma \int_0^te^{-(b+\frac{1}2\sigma^2_3)(t-s)+\sigma_3(B_3(t)-B_3(s))}I(s)ds.
		%\end{multline}
		%Từ $I(t)$  đã được chứng minh là toàn cục và dương, ${V(t)}$ cũng là toàn cục và dương. 
		Định lý được chứng minh.
	\end{proof}
	By adding side by side in system \eqref{e1.1a},  ta có
	\begin{align*}
		\frac d{dt}(S(t)+I(t)+R(t))
		&=K\mu(\xi_t)-\mu(\xi_t)(S(t)+I(t)+R(t))-\rho(\xi_t) I(t)
		\\& \leq  \mu(\xi_t)K-\mu(\xi_t)(S(t)+I(t)+R(t)) .
	\end{align*}
	Xem xét định lý so sánh, nếu $S(0)+I(0)+R(0)\leq K$, thì $(S(t)+I(t)+R(t))$ với $t\geq0$. Do đó, $\Delta=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3_+: x+y+z\leq K\}$ là một tập bất biến.
	Nếu $S(0)+I(0)+R(0)\leq K$,
	khi đó $\limsup_{t\to\infty}(S(t)+I(t)+R(t))\leq K$. 
	Vì vậy, chúng ta chỉ cần nghiên cứu về quá trình $(S(t),I(t), R(t))$  trên tập hợp bất biến $\Delta$.
	Để đơn giản hóa các ký hiệu này, chúng ta ký hiệu bằng $\Phi(t)=(S(t), I(t), R(t))$  là nghiệm) của hệ \eqref{e1.1a},  và $\phi=(x, y, z)\in \Delta$.
	Hiện tại chúng ta đang đưa ra một điều kiện cho sự tồn tại và duy trì lâu dài của dịch bệnh.
	Đặt $$g(x,y,i)=F_1(x,y,i)x-\Big(\mu(i)+\rho(i)+\gamma_2(i)+\frac{F_2^2(x, y, i)x^2}{2}\Big).$$ 
	Ta xác định ngưỡng \begin{equation}\label{lambda} \lambda =\sum_{i=1}^{m_0}g(K,0,i)\pi_i= \sum_{i=1}^{m_0} \Big[F_1(K, 0, i) K-\Big(\mu(i)+\rho(i)+\gamma_2(i)+\frac{F_2^2(K, 0, i)K^2}{2}\Big)\Big]\pi_i. \end{equation} 
	Đặt $C^{2}(\mathbb{R}^3\times\mathcal M, \mathbb{R}_+)$ là họ của mọi hàm không âm $V(\phi, i)$
	trên $ \mathbb{R}^3\times\mathcal M $ liên tục khả vi  hai lần trong  $\phi$. Toán tử $\Lom$ liên kết với \eqref{e1.1a} nó được xác định như sau. Với $V\in C^{2}(\mathbb{R}^3\times\mathcal M,\mathbb{R}_+)$, định nghĩa:
	\begin{equation*}
		\Lom V(\phi,i)=\Lom_i V(\phi, i)+\sum_{j\in\M} q_{ij}V(\phi, j),
	\end{equation*}
	trong đó $$
	\Lom_i V(\phi, i)=V_\phi(\phi, i)\widetilde f(\phi, i)+\frac12\widetilde g^\top(\phi, i) V_{\phi\phi}(\phi, i)\widetilde g(\phi, i),
	$$ 
	$V_\phi(\phi, i) $ và $V_{\phi\phi}(\phi, i)$ là  gradient và hessian của $V(\cdot,i)$,
	$\widetilde f$ và $\widetilde g$ hệ số trôi và hệ số khuếch tán của \eqref{e1.1a}, theo thứ tự là:
	\begin{equation*}\label{2.3}
		\begin{aligned}
			\widetilde f(\phi,i)=&(-xyF_1(x,y,i)+\mu(i)(K-x)+\gamma_1(i)z, xyF_1(x,y,i)\\
			&\qquad -(\mu(i)+\rho(i)+\gamma_2(i))y, \gamma_2(i)y-(\mu(i)+\gamma_1(i))z)^\top,
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	và $$\widetilde g(\phi,i)=(-xyF_2(x,y,i), xyF_2(x,y,i),0)^\top.$$ 
	Lưu ý rằng nếu $V(\phi,i)$ không phụ thuộc vào $i$, thì $\Lom_iV$ và $\Lom V$ trùng nhau vì $\sum_{j\in\M} q_{ij}=0$.
	
	\section{Điều kiện để dịch bệnh tồn tại trong mô~hình}\label{sec2.2}
	
	
	\begin{lm} Đặt $\partial \Delta_2:=\{\phi=(x,y,z)\in\Delta: y=0\}$. Khi đó, tồn tại $T>0$ sao cho
		với bất kỳ $(\phi,i)\in \partial \Delta_2\times\cM$,
		\begin{equation}\label{e3.1}
			\E_{\phi,i}\int_0^Tg(\Phi(t),\xi_t)dt\geq \dfrac{3\lambda}4T.
		\end{equation}
	\end{lm}
	\begin{proof}
		Khi $I(0)=0$, ta có $I(t)=0$ với bất kỳ $t>0$ và $(S(t), R(t))$ thỏa mãn:
		\begin{equation*}
			\begin{cases}
				dS(t)=\big(\mu(\xi_t) (K-S(t))+\gamma_2(\xi_t)R(t)\big)dt\\
				dR(t)=- (\mu(\xi_t)+\gamma_2(\xi_t)) R(t))dt.
			\end{cases}
		\end{equation*}
		Dễ thấy $(S(t),R(t))$ hội tụ đều tới $(K,0)$ trong các giá trị nguyên hàm. Điều này và tính ecgodic đều của $\xi_t$ chỉ ra rằng:
		$$\lim_{t\to\infty}\dfrac1t\E_{\phi,i}\int_0^tg(\Phi(u),\xi_u)du=\lambda\text{ đều trong }(\phi,i)\in\partial\Delta_2\times\M.$$
		Do đó, ta có thể dễ dàng tìm được một $T$ không đổi thỏa mãn \eqref{e3.1}.
	\end{proof}
	\begin{lm}\label{laplace}
		Đặt $Y$ là một biến ngẫu nhiên, giả sử  $\E \exp(Y)+\E \exp(-Y)\leq K_1.$
		Phép biến đổi log-Laplace
		$u(\theta)=\ln\E\exp(\theta Y)$ khả vi hai lần trên $\left[0,0.5\right]$ và
		$\frac{du}{d\theta}(0)= \E Y,$
		$0\leq \frac{d^2u}{d\theta^2}(\theta)\leq 2K_2\,, \theta\in\left[0,0.5\right]$
		với một $K_2>0$ chỉ phụ thuộc vào $K_1$. Do đó, theo khai triển Taylor ta có:
		$$u(\theta)\leq \E Y\theta+K_2\theta^2, \, \theta\in\left[0,0.5\right].$$
	\end{lm}
	
	\begin{proof}% Sự chứng minh của bổ đề này có thể tìm thấy ở \cite{DY1}.  Với sự thuận tiện này, ta có một sơ đồ chứng minh như sau. Dễ thấy
		Ta có thể tìm được hằng số số $K_2>0$ sao cho:
		$$ |y|^k\exp(\theta y)\leq K_2(\exp(y)+\exp(-y)), k=1,2.$$
		với $\theta\in \left[0,\frac{1}2\right]$, $y\in\mathbb{R}$.
		Với bất kỳ $y\in\mathbb{R}$, đặt $\xi(y)$ là một số nằm giữa $y$ và $0$ sao cho
		$\exp(\xi(y))=\dfrac{e^y-1}y$.
		Chọn $\theta\in\left[0,\frac{1}2\right]$
		và đặt $h\in\mathbb{R}$ sao cho $0\leq \theta+h\leq  \frac{1}2$. Khi đó
		$$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\exp((\theta+h) Y)-\exp(\theta Y)}h= Y\exp(\theta Y)\text{ a.s.,} \text{ và}$$
		$$\left|\dfrac{\exp((\theta+h) Y)-\exp(\theta Y)}h\right|=|Y|\exp(\theta Y+\xi(hY))
		\leq 2K_3[ \exp(Y)+\exp(-Y)].$$
		Theo định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn, ta được
		$$\dfrac{d \E \exp(\theta Y)}{d\theta}=\lim\limits_{h\to0}\E\dfrac{\exp((\theta+h) Y)-\exp(\theta Y)}h= \E Y\exp(\theta Y).$$
		Tương tự,
		$$\dfrac{d^2 \E \exp(\theta Y)}{d\theta^2}=\E Y^2\exp(\theta Y).$$
		Từ đó  ta có được:
		$$\dfrac{du}{d\theta}=\dfrac{\E Y\exp(\theta Y)}{\E \exp(\theta Y)}$$
		trong đó chỉ ra
		$$\dfrac{du}{d\theta}(0)=\E Y \quad 
		\text{and}\quad 
		\dfrac{d^2u}{d\theta^2}=\dfrac{\E Y^2\exp(\theta Y)\E \exp(\theta Y)-[\E Y\exp(\theta Y)]^2}{[\E \exp(\theta Y)]^2}.$$
		Theo bất đẳng thức H{\"o}lder's ta có 
		$$\E Y^2\exp(\theta Y)\E \exp(\theta Y)\geq[\E Y\exp(\theta Y)]^2$$
		và do đó $$\dfrac{d^2u}{d\theta^2}\geq0\quad \text{với mọi}\quad \theta\in \left[0, 0.5\right].$$
		Hơn nữa,
		$$
		\begin{aligned}
			\dfrac{d^2u}{d\theta^2}\leq& \dfrac{\E Y^2\exp(\theta Y)}{\E \exp(\theta Y)}
			\leq  \dfrac{K_3(\E \exp(Y)+\E \exp(- Y))}{\exp(\theta \E Y)}\\
			\leq & \dfrac{K_3(\E \exp(Y)+\E \exp(- Y))}{\exp(-|\E Y|)}:=K_2.
		\end{aligned}
		$$
		Vậy ta có điều phải chứng minh.
	\end{proof}
	\begin{dl}\label{main}
		Nếu $\lambda>0$,  Mô hình tồn tại dịch bệnh ngẫu nhiên mạnh theo nghĩa với bất kỳ $\eps>0$, tồn tại $\delta>0$ sao cho
		\begin{equation}\label{per}
			\liminf_{t\to\infty} \PP_{\phi,i}\{I(t)\geq\delta\}>1-\eps\,\text{ với bất kỳ }\, (\phi,i)\in\Delta\times\cM, y>0.
		\end{equation}
	\end{dl}
	\begin{proof}
		Xét hàm Lyapunov   $V_\theta(\phi,i)=y^\theta$, trong đó $\theta$ là hằng cho trước. Ta có:
		$$
		\Lom_iV_\theta(\phi, i)=\theta y^\theta[F_1(x, y, i)x-(\mu(i)+\rho(i)+\gamma_2(i))+\frac{\theta-1}2x^2F_2^2(x, y, i)].
		$$
		Từ đó suy ra $$L V_\theta\leq H_\theta V_\theta,$$ trong đó 
		\begin{multline*}
			H_\theta=\sup\{\theta[F_1(x, y, i)x-(\mu(i)+\rho(i)+\gamma_2(i))\\+\frac{\theta-1}2x^2F_2^2(x, y, i)]: (x, y, z, i)\in \Delta\times \mathcal{M}\}.\end{multline*}
		Do đó, bằng cách sử dụng công thức It\^o's và lấy  kỳ vọng hai vế, ta có:
		\begin{equation}\label{e-itheta}
			\E_{\phi,i} I^\theta(t)\leq y^\theta \exp(H_\theta t)\text{ với mọi }t\geq0, (\phi,i)\in(\Delta\setminus\partial\Delta_2)\times\cM.
		\end{equation}
		Theo tính chất Feller của nghiệm và \eqref{e3.1},
		tồn tại $\delta_2>0$ sao cho nếu $\phi=(x, y, z)\in\Delta$ với $y<\delta_2$
		ta có
		\begin{equation}\label{e3.2}
			\E_{\phi,i}G(T)=-\E_{\phi,i}\int_0^Tg(\Phi(t),\xi_t)dt\leq
			-\dfrac{\lambda}2T.
		\end{equation}
		Từ $G(t)=\ln I(0)-\ln I(t)$ và \eqref{e-itheta} ta có $$E_{\phi,i}(e^{G(t)}+e^{G(t)})\leq e^{H_1t}+e^{H_{-1}t}<\infty.$$
		Áp dụng Bổ đề \ref{laplace},
		và \eqref{e3.2} suy ra 
		$$
		\ln\E_{\phi,i}e^{\theta G(T)}\leq -\dfrac{\lambda\theta}2T+\hat H\theta^2 \text{ với } \theta\in[0,0.5],
		$$
		trong đó $\hat H$ là một hằng số phụ thuộc vào $T$, $H_{-1}$ và $H_1$.
		Với một $\theta$ đủ bé, ta có
		$$\E_{\phi,i}\frac{y^{\theta}}{I^{\theta}(T)}=\E_{\phi,i} \frac{I^{\theta}(0)}{I^{\theta}(T)}=
		\E_{\phi,i}e^{\theta G(T)}\leq \exp(-\dfrac{\lambda\theta}4T)\,\text{ với } \phi\in\Delta,y<\delta_3, i\in\cM.
		$$
		
		Có nghĩa là,
		$$\E_{\phi,i}I^{-\theta}(T)\leq q y^{-\theta} \,\text{ for }\, q= \exp(-\dfrac{\lambda\theta}4T)\,\text{ với } \phi\in\Delta,y<\delta_3,i\in\cM.$$
		Kết hợp điều này và \eqref{e-itheta} suy ra:
		$$\E_{\phi,i}I^{-\theta}(T)\leq q y^{-\theta} +C\,\text{ với }\, C= \delta_3^{-\theta}\exp(H_{-\theta} T)\,\text{ for } \phi\in\Delta,i\in\cM.$$
		Áp dụng tính  Markov của nghiệm, ta có
		$$\E_{\phi,i}I^{-\theta}((k+1)T)\leq q \E_{\phi,i}I^{-\theta}(kT) +C\,\text{ với } \phi\in\Delta,i\in\cM, k\in\N.$$
		Sử dụng tính chất này, suy ra
		\begin{equation*}
			\E_{\phi,i}I^{-\theta}(nT)
			\leq q^n y^{-\theta} +\dfrac{C(1-q^n)}{1-q}\,\text{ với } \phi\in\Delta,i\in\cM, n\in\N.
		\end{equation*}
		Từ bất đẳng thức này  và \eqref{e-itheta} ta được
		\begin{equation*}\label{e1-thm3.1}
			\E_{\phi,i}I^{-\theta}(t)
			\leq \left(q^n y^{-\theta} +\dfrac{C(1-q^n)}{1-q}\right)\exp(H_{-\theta} T)\,\text{ với } t\in[nT, nT+T].
		\end{equation*}
		Cho $n\to\infty$ ta có
		$$\limsup_{t\to\infty} \E_{\phi,i}I^{-\theta}(t)=\dfrac{C}{1-q}\exp(H_{-\theta} T),$$
		điều này dẫn đến \eqref{per}. Ta có điều phải chứng minh.
	\end{proof}
	
	
	\section{Điều kiện mô hình dịch tễ sạch bệnh}\label{sec2.3}
	\begin{dl}\label{main}
		Nếu $\lambda<0$, khi đó $\Phi(t)\to (K,0, 0)$ a.s. khi $t\to\infty$
		với mọi giá trị ban đầu cho trước $(\phi, i)\in \Delta\times \mathcal M$, i.e., dịch bệnh sẽ tuyệt chủng. Hơn nữa,
		\begin{equation}\label{log}
			\PP_{\phi,i}\Big\{\lim\limits_{t\to\infty}\dfrac{\ln I(t)}t=\lambda<0\Big\}=1\text{ với }(\phi,i)\in\Delta\times\cM, y>0.
		\end{equation}
	\end{dl}
	\begin{proof}
		Vì $\lambda<0$, ta có thể chọn $\sigma>0$ bé tùy ý sao cho
		$$\sum_{j\in\cM}(g(K,0,j)+\sigma)\pi_j<0.$$
		Xét hàm Lyapunov $V(x,y,z, i)=(K- x)^2+y^p+z^2$, trong đó $p\in (0, 1)$ là một hằng số được xác định. Bằng việc tính toán trực tiếp
		với $(x,y,z,i)\in\Delta\times\M$ thì
		\begin{multline*} \mathcal{L}_iV(x,y, z, i)\\=-2(K-x)[-F_1(x, y, i) xy+\mu(i)(K- x)+\gamma_1(i)z] +py^{p}g(x,y,i)
			\\+2z(\gamma_2(i)y-(\mu(i)+\gamma_1(i)) z) +x^2y^2F_2^2(x, y, i) +\frac{p^2F^2_2(x, y, i)x^2y^p}{2}
			\\\leq -2\mu(i)(K-x)^2 -2(\mu(i)+\gamma_1(i))z^2+py^{p}g(x,y,i)
			\\
			+ y\Big(2(K-x)F_1(x, y, i) x+2z\gamma_2(i)+x^2yF_2^2(x, y, i)\Big)+\frac{p^2F^2_2(x, y, i)x^2y^p}{2}.
		\end{multline*}
		
		Với một hằng số $\delta_1\in (0, K)$, ta kí hiệu $\mathcal{U}_{\delta_1}=(K-\delta_1, K]\times[0, \delta_1)^2.$
		Vì tính liên tục của $g(\cdot), F_1(\cdot), F_2(\cdot)$, tính chắc chắn của $\Delta\times\M$ và thực tế rằng $y^{1-p}\to0$ với $y\to 0$, ta có thể chọn $p\in (0,1)$ và $\delta_1 \in (0, K)$ sao cho với mọi $(x, y, z, i)\in \mathcal{U}_{\delta_1}\times\mathcal{M}$,
		\begin{multline*} py^pg(x,y,i)+y\Big(2(K-x)F_1(x, y, i) x+2z\gamma_2(i)+x^2yF_2^2(x, y, i)\Big)\\+\frac{p^2F^2_2(x, y, i)x^2y^p}{2} \leq p(g(K,0,i)+\sigma)y^p.
		\end{multline*}
		Khi $p$ đủ bé, ta cũng có $$-2\mu(i)(K-x)^2 -2(\mu(i)+\gamma_1(i))z^2\leq p(g(K, 0, i)+\sigma)[(K-x)^2+z^2].$$
		Do đó, $$\Lom_iV(x, y, z, i)\leq p[g(K, 0, i)+\sigma]V(x, y, z, i) \,\text{ for }\, (x, y, z, i)\in \mathcal{U}_{\delta_1}\times \mathcal{M}.$$
		THeo \cite[Theorem 3.1]{DY1} (xem \cite[Definition 3.1]{KZY} và \cite[Theorem 4.3]{KZY}), với mọi $\varepsilon>0,$ tồn tại $0<\delta<\delta_1$ sao cho
		\begin{equation}\label{e2.19s}
			\PP_{\phi,i}\Big\{\lim_{t\to\infty}(S(t), I(t), R(t))=\big(K,0, 0\big)\Big\}\geq 1-\varepsilon \, \text{ với }\, (\phi,i)\in \mathcal{U}_{\delta}\times\mathcal{M}.
		\end{equation}
		
		Giờ ta chứng minh rằng bất kỳ nghiệm nào trong $\Delta\times\M$
		cũng có giá trị trong $\mathcal{U}_{\delta}\times\mathcal{M}$.
		Giả sử $\tau_\delta=\inf\{t\geq 0: S(t)\geq K-\delta\}$. Xét hàm Lyapunov
		$U(\phi, i)=c_1-(x+1)^{c_2},$
		trong đó $c_1$ và $c_2$ là 2 hằng số dương được xác định.
		Ta có
		\begin{multline*}
			\mathcal{L}U(\phi, i)=-c_2(x+1)^{c_2-2}[(x+1)(\mu(i)(K-x)+\gamma_1(i)z-xyF_1(x, y, i))
			\\
			+\frac{c_2-1}2x^2y^2F_2^2(x, y, i)].
		\end{multline*}
		
		Giả sử $\mu_m=\min\{\mu(i):i\in\M\}$.
		Vì
		$(x+1)\mu(i)(K-x)\geq\delta\mu_m$ với mọi $x\in[0,K-\delta]$
		và $\inf\{F_2(x,y,i): (x,y,z,i)\in\Delta\times\M\}>0$, ta có thể tìm được một số lượng lớn $c_2$ phù hợp sao cho 
		\begin{equation*}
			(x+1)\mu(i)(K-x)+\gamma_1(i)z-xyF_1(x, y, i))
			+\frac{c_2-1}2x^2y^2F_2(x, y, i)\geq 0.5\delta\mu_m 
		\end{equation*}
		với $(\phi,i)\in\Delta\times\M, x\leq K-\delta$. Khi đó
		$$\mathcal{L}U(\phi, i)\leq-0.5c_2\delta\mu_m\;\;\text{cho bởi }\;(x,y,z,i)\in\Delta\times\M, x\leq K-\delta.$$
		Với công thức Dynkin, ta có
		\begin{multline*}
			\E_{\phi,i} U(\Phi(\tau_\delta\wedge t), \xi_{\tau_\delta\wedge t})= U(\phi,i)+\E_{\phi,i}\int_0^{\tau_\delta\wedge t}\Lom U(\Phi(s),\xi_s)ds
			\\
			\leq U(\phi, i)-0.5 c_2\mu_m\delta\E_{\phi,i}\tau_{\delta}\wedge t.
		\end{multline*}
		Giả sử $t\to\infty$ và sử dụng bổ đề Fatou ta có:
		$$\E_{\phi,i} U(\Phi(\tau_\delta), \xi_{\tau_\delta})\leq U(\phi, i)-0.5\delta\mu_m c_2\E_{\phi,i}\tau_{\delta}.$$
		Vì $U$ được xác định trên $ \mathbb{R}^3_+$, ta kết luận rằng
		$\E_{\phi,i}\tau_{\delta}<\infty$.
		Với tính Markov, từ \eqref{e2.19s} và $\E_{\phi,i}\tau_{\delta}<\infty$ ta có
		$$\PP_{\phi,i}\{\lim_{t\to\infty}\Phi(t)=(K,0,0)\}\ge (1-\eps)\,\text{ với }\, (\phi, i)\in \Delta\times\M,$$
		với mọi $\eps>0$. Như vậy,
		\begin{equation}\label{e2.5dl1}
			\PP_{\phi,i}\{\lim_{t\to\infty}\Phi(t)=(K,0,0)\}=1\,\text{ for }\, (\phi, i)\in \Delta\times\M.
		\end{equation}
		Theo công thức It\^o's
		Ta có
		$$\ln I(t)=\ln I(0)- G(t),$$
		trong đó
		$$G(t)=-\int_0^tg(\Phi(u),\xi_u)du-\int_0^tS(u)I(u)F_2(S(u), I(u),  \xi_u)dB(u).
		$$Suy ra
		\begin{equation}\label{e2.6dl1}
			\dfrac{\ln  I(t)}t=\frac{\ln I(0)}t+\dfrac1t\int_0^tg(\Phi(u),\xi_u)du
			+\dfrac1t\int_0^t S(u)I(u)F_2(S(u), I(u),  \xi_u)dB(u).
		\end{equation}
		Theo luật số lớn martingales and quá trình Markov,
		từ \eqref{lambda} and \eqref{e2.5dl1} ta suy ra
		$$
		\lim_{t\to\infty}\dfrac1t\int_0^tg(\Phi(u),\xi_s)du=\lambda\,$$$$\text{ và }\\\,
		\lim_{t\to\infty}\dfrac1t\int_0^t S(u)I(u)F_2(S(u), I(u),  \xi_u)dB(u)=0\,\text{ a.s}.
		$$
		Kết hợp với \eqref{e2.6dl1} suy ra \eqref{log}.
	\end{proof}
	
	\section{Một số ví dụ số minh hoạ}\label{sec:con}
	
	Để minh họa cho lý thuyết đã được trình bày, chúng tôi xem tỷ lệ mắc bệnh là sự phản ứng lại của hàm Beddington-DeAngelis; đó là $$F_1(S,I,\xi_t)=\frac{\beta_1(\xi_t) SI}{1+a_1(\xi_t)S+b_1(\xi_t)I}, \quad F_2(S,I,\xi_t)=\frac{\beta_2(\xi_t) SI}{1+a_2(\xi_t)S+b_2(\xi_t)I},$$ trong đó $a_i,b_i,\beta_i, i=(1,2)$ là các hằng số dương. Quá trình $\{\xi_t, t\geq 0\}$ là một chuỗi Markov tiếp diễn thuận nhận giá trị trên $\mathcal M=\{1,2\}.$ Nó có nghĩa là nếu $\xi_t = 6$, khi đó ta ở trong trạng thái 1 và nếu $\xi_t = 7$ thì ta ở trong trạng thái 2. Tốc độ chuyển từ trạng thái 1 sang 2 là $q_{12}=0.5$ và tốc độ chuyển từ 2 sang 1 là $q_{21}=0.8$, khi đó phân phối dừng $\pi=(\pi_1,\pi_2)=(\frac{8}{13},\frac{5}{13})$. 
	
	\begin{exam}\label{ex1}
		
		Ta giả sử rằng độ lớn của quần thể $K=5$ và hệ số của phương trình được cho ở bảng 1 dưới đây.
		\begin{table}[htp]
			\centering 
			\begin{tabular}{|c|*{10}{>{\centering\arraybackslash}m{1.5em}|}}
				\hhline{-|----------}
				\diagbox[width=0.75\dimexpr\eqboxwidth{wd} + 30\tabcolsep\relax, height=1cm]{\hspace{-.2cm}Trạng thái}{\raisebox{5ex}{Hệ số}}
				& $a_1$ & $a_2$ & $b_1$ & $b_2$ & $\beta_1$& $\beta_2$ & $\gamma_1$ & $\gamma_2$ & $\mu$  & $\rho$ \\
				\hhline{-----------}
				1 & 1.5 & 0.1& 1 & 1& 8 & 2 & 1 &0.5 & 2 & 1\\
				\hhline{-|----------}
				2 & 1 & 0.3& 1.2 & 2 & 5& 2 &  2 & 0.2 &1.5 & 0.2\\
				\hhline{-|----------}
			\end{tabular}
			\caption{Giá trị của hệ số ở ví dụ \ref{ex1}}\label{T1}
		\end{table}\\
		Theo công thức \eqref{lambda}, ta có $\lambda=-4.8819<0.$ Kết quả của định lý \ref{main}, $I(t)$  tiến về 0  and $S(t)$ tiến về $K$ as $t\to\infty$. Kết luận này được thể hiện ở Hình $1$. Điều đó là mô hình cuối cùng không còn dịch bệnh.
		\vspace{-1.75cm}
		\begin{figure}[H]\label{Fig_1s}
			\centering
			\includegraphics[width=3 in, height=3.5in]{VD1_I.pdf}
			\includegraphics[width=3in, height=3.5in]{VD1_S.pdf}
			\vspace{-2cm}
			\caption{Quỹ đạo mẫu $I(t)$ (đường màu xanh bên trái), $S(t)$ (đường màu xanh bên phải), và $\xi_t$ (màu đỏ) trong ví dụ \ref{ex1}.}
		\end{figure}
	\end{exam} 
	
	\begin{exam}\label{ex2}
		Ta giả sử rằng độ lớn của quần thể là K=30. $K=30$. Bảng của các giá trị tham số được đưa ra như bên dưới.
		
		\begin{table}[H]
			\centering
			\begin{tabular}{|c|*{10}{>{\centering\arraybackslash}m{1.5em}|}}
				\hhline{-|----------}
				\diagbox[width=0.75\dimexpr\eqboxwidth{wd} + 30\tabcolsep\relax, height=1cm]{\hspace{-.2cm}Trạng thái}{\raisebox{5ex}{Hệ số}}
				& $a_1$ & $a_2$ & $b_1$ & $b_2$ & $\beta_1$& $\beta_2$ & $\gamma_1$ & $\gamma_2$ & $\mu$  & $\rho$ \\
				\hhline{-----------}
				1 & 2 & 1.7& 0.5 &1.2 & 5 & 1 & 0.7 & 0.5 & 1 & 0.7\\
				\hhline{-|----------}
				2 & 1 & 3&  0.6 & 1.5 & 3& 1.5 & 0.5 & 1 &0.5 & 1\\
				\hhline{-|----------}
			\end{tabular}
			\caption{Giá trị của các hệ số trong ví dụ \ref{ex2}}\label{T2}
		\end{table}
		λ = 2:3441 > 0. Do đó, với định lý 2.3.1, I(t) là duy trì lâu dài (cố định) một cách ngẫu nhiên và mạnh mẽ. Kết quả đó có thể được thấy ở Hình 2. Mật độ (tỉ trọng) của số đo thực nghiệm, cái mà xấp xỉ mật độ (tỉ trọng) bất biến (ko đổi), được biểu thị ở Hình 3, Hình 4 bằng 2D và 3D theo thứ tự.
		
		Sự tính toán chi tiết cho chúng ta rằng $\lambda= 2.3441>0$. Do đó, theo định lý \ref{main}, $I(t)$ là tồn tại lâu dài, ngẫu nhiên và bền vững. Kết uqar có thể thấy được ở Hình 2. Mật độ của số đo thực nghiệm xấp xỉ 
		mật độ bất biến, được thể hiện ở Hình 3, Hình 4  bằng 2D và 3D theo thứ tự.
		\begin{figure}[H]\label{Fig_1}
			\centering\vspace{-2.5cm}
			\includegraphics[width=3 in, height=4in]{VD2_I.pdf}
			\includegraphics[width=3in, height=4in]{VD2_S.pdf}
			\vspace{-2.5cm}
			\caption{Quỹ đạo mẫu $I(t)$ (đường màu xanh bên trái) và $S(t)$ (đường màu xanh bên phải) và $\xi_t$ (đường đỏ) trong ví dụ \ref{ex2}.}
		\end{figure}
		\begin{figure}[H]\label{Fig_4}
			\centering
			\vspace{-2.5cm}
			\includegraphics[width=3in, height=4in]{VD2_2Dp1.pdf}
			\includegraphics[width=3in, height=4in]{VD2_2Dp2.pdf}
			\vspace{-2.5cm}
			\caption {Mật độ thực nghiệm của $(S(t), I(t))$ đối với trạng thái ban đầu $p(i; s; 1)$ (bên trái) và ở trạng thái thứ 2 $p(i; s; 2)$
				(bên phải) của độ đo xác suất bất biến $\mu$ của ví dụ \ref{ex2} trong 2D}
		\end{figure}
		\begin{figure}[H]\label{Fig_5}
			\centering
			\vspace{-2.5cm}
			\includegraphics[width=3in, height=4in]{VD2_3Dp1.pdf}
			\includegraphics[width=3in, height=4in]{VD2_3Dp2.pdf}
			\vspace{-2.5cm}
			\caption {Mật độ thực nghiệm của $(S(t), I(t))$ đối với trạng thái ban đầu $p(i; s; 1)$ (bên trái) và ở trạng thái thứ 2 $p(i; s; 2)$
				(bên phải) của độ đo xác suất bất biến $\mu$ của ví dụ \ref{ex2} trong 3D}
		\end{figure}
	\end{exam} 
	
	\newpage
	\addcontentsline{toc}{section}{\textbf{{Kết luận }}}
	{\centerline{KẾT LUẬN}}
	Đề tài đã đạt được các kết quả sau:
	\par - Trình bày các kiến thức cơ bản tính toán ngẫu nhiên như tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô, phương trình vi phân ngẫu nhiên.
	\par - Trình bày về điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm dương của mô hình dịch tễ dạng SIS có tiêm chủng được tham khảo trong  \cite{ZJR}. 
	\par
	- Xây dựng giá trị ngưỡng để phân loại dáng điệu tiệm cận của mô hình  dịch tễ dạng SIS có tiêm chủng.
	
	- Sử dụng phần mềm Matlab để mô phỏng số nhằm minh họa kết quả lý thuyết đạt được.
	\addcontentsline{toc}{section}{\textbf{{Tài liệu tham khảo }}}
	\bibliographystyle{amsplain}
	\begin{thebibliography}{10}
		\bibitem{MY}Mao, X. and Yuan, C., (2006), \emph{Stochastic Differential Equations with Markovian Switching}, Imperial College Press.
		
		\bibitem{HZ} Han, Z.; Zhao, J., (2013), Stochastic SIRS model under regime switching. \emph{Nonlinear Anal. Real World Appl.} 14, no. 1, 352-364
		\bibitem{Stroock}D. Stroock, (2013), \emph{An introduction to Markov processes}, Springer Science \& Business Media. 
		\bibitem{TDDK} Tuong, T. D.; Nguyen, Dang H.; Dieu, N. T.; Tran, Ky.,  (2019), Extinction and permanence in a stochastic SIRS model in regime-switching with general incidence rate. \emph{Nonlinear Anal. Hybrid Syst.} 34, 121--130.
		
		\bibitem{AM1} R. M. Anderson and R. M. May, Regulation and stability of host-parasite population interactions. I: Regulatory processes, \emph{J. Anim. Ecol.} 47 (1978), no. 1, 219-267.
		%\bibitem{BL1} M. Bena\"{\i}m and C. Lobry,  Lotka-Volterra with randomly fluctuating environments or "how switching between beneficial environments can make survival harder'', \emph{ Ann. Appl. Probab.} 26 (2016), no. 6, 3754-3785.
		
		\bibitem{Ber} D. Bernoulli, Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite verole. \emph{Mémoires de
			Mathematiques et de Physique. Acad. R. Sci. Paris}  (1760),  1, 1-45.
		
		\bibitem{Cai} Y. Cai, Y. Kang, M. Banerjee, W. Wang, A stochastic SIRS epidemic model with infectious force under intervention strategies, \emph{J. Differential Equations} 259 (2015), 7463-7502.
		
		\bibitem{CS1}V. Capasso and G. Serio, A generalization of Kermack-McKendrick deterministic epidemic model, \emph{Math. Biosci.} 42 (1978), no. 1–2, 43-61.
		
		%\bibitem{Cas}  H. Caswell, J.E. Cohen, Red, white and blue: environmental variance spectra and coexistence in metapopulations, {\sl J. Theoret. Biol.} 176 (1995) 301–316.
		
		%\bibitem{CLL1} G. Chen, T.  Li, C. Liu,  Lyapunov exponent and almost sure asymptotic stability of a stochastic SIRS model. \emph{Publ. Mat.} 58 (2014), 153-165.
		
		
		
		%\bibitem{Dieu} N. T. Dieu, D. H. Nguyen, N. H. Du,  G. Yin. Classification of asymptotic behavior in a stochastic SIR model. {\sl SIAM J. Appl. Dyn. Syst.} 15 (2016), no. 2, 1062-1084.
		
		\bibitem{DY1} N. H. Dang,  G. Yin, Stability of Regime-Switching Diffusion Systems with Discrete States Belonging to a Countable Set. {\sl SIAM J. Control Optim.} 56 (2018), 3893–3917.
		
		%\bibitem{Xi2017} X. Fubao, Z. Chao, On Feller and strong Feller properties and exponential ergodicity of regime-switching jump diffusion processes with countable regimes. {\it SIAM J. Control Optim.} 55 (2017), no. 3, 1789-1818.
		
		%\bibitem{Guo} W. Guo,  Q. Zhang,  X. Li,  W,  Wang, Dynamic behavior of a stochastic SIRS epidemic model with media coverage, \emph{Math Meth Appl Sci. } (2018), 1-20.
		
		%\bibitem{Gray} A. Gray, D. Greenhalgh, L. Hu, X. Mao, J.  Pan. A stochastic differential equation SIS epidemic model. {\sl SIAM J Appl Math.} 71 (2011), no. 3, 876-902.
		
		\bibitem{GLM1} D. Greenhalgh, Y. Liang, X. Mao,  Modelling the effect of telegraph noise in the SIRS epidemic model using Markovian switching. \emph{Phys. A} 462 (2016), 684-704.
		
		
		\bibitem{HZ1} Z. Han, J.  Zhao,  Stochastic SIRS model under regime switching. \emph{Nonlinear Anal. Real World Appl.} 14 (2013), no. 1, 352-364.
		
		\bibitem{KM} W. O. Kermack, A. G. McKendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics, (part I), \emph{Proc. R. Soc. Lond. Ser. A} {115} (1927), 700-721.
		
		\bibitem{KM1} W. O. Kermack, A. G. McKendrick, Contributions  to  the  mathematical  theory  of
		epidemics,
		(part  II), \emph{ Proc.  Roy.  Sot.  Ser.  A} {138} (1932), 55-83.
		
		
		\bibitem{KZY} R. Z. Khasminskii, C. Zhu, G. Yin,  Stability of regime-switching diffusions. {\sl Stochastic Process. Appl.} 117 (2007), no. 8, 1037-1051.
		
		
		
		
		\bibitem{KW1} A. Korobeinikov, G. C. Wake,  Lyapunov functions and global stability for SIR, SIRS, and SIS epidemiological models. \emph{Appl. Math. Lett.} 15 (2002), no. 8, 955-960.
		
		%\bibitem{LOK1} A. Lahrouz,  L. Omari, D. Kiouach,  Global analysis of a deterministic and stochastic nonlinear SIRS epidemic model. \emph{Nonlinear Anal. Model. Control} 16 (2011), no. 1, 59-76. 
		
		%\bibitem{LS1} A. Lahrouz,  A. Settati, Asymptotic properties of switching diffusion epidemic model with varying population size. \emph{Appl. Math. Comput.} 219 (2013), no. 24, 11134-11148.
		
		%\bibitem{Lu} Q. Lu, Stability of SIRS system with random perturbations. {\sl Phys. A} 388 (2009), 3677-3686.
		
		
		%\bibitem{NT1} M. N'zi, J. Tano,  Deterministic and stochastic stability of an SIRS epidemic model with a saturated incidence rate. \emph{Random Oper. Stoch. Equ.} 25 (2017), no. 1, 11-26.
		
		%\bibitem{Pec} J. Peccoud, B. Ycart, Markovian modeling of gene-product synthesis, {\sl Theoret. Pop. Biol.} 48 (2) (1995), 222–234.
		
		\bibitem{SLJJ1} A. Settati, A.  Lahrouz, M.  El Jarroudi,  Dynamics of hybrid switching diffusions SIRS model. \emph{J. Appl. Math. Comput.} 52 (2016), no. 1-2, 101-123.
		
		%\bibitem{Slat} M. Slatkin, The dynamics of a population in a Markovian environment, {\sl Ecology} 59 (1978), 249–256.
		
		%\bibitem{ZJ1} Y. Zhao, D. Jiang, The threshold of a stochastic SIRS epidemic model with saturated incidence. 		\emph{Appl. Math. Lett.} 34 (2014), 90-93. 
		
		
		%\bibitem{Z.1}  X. Zhang, Q. Shi, S. Ma, H. Huo, D. Li, Dynamic behavior of a stochastic SIQS epidemic model with Lévy jumps, {\sl Nonlinear Dynamics} 93.3 (2018), 1481-1493.
		
	
		%\bibitem{Z.2} X. Zhang, S. Chang, Q. Shi, H. Huo, Qualitative study of a stochastic SIS epidemic model with vertical transmission, \emph{Phys. A} 505, (2018), 805-817.
		
		%\bibitem{Z.3} X. Zhang, H. Huo, H. Xiang,  D. Li, The dynamic behavior of deterministic and stochastic delayed SIQS model, {\sl  J. Appl. Ana. Comput.} 8.4 (2018), 1061-1084.
		
		\bibitem{Zhu2011} C. Zhu, Optimal control of the risk process in a regime-switching environment. {\it  Automatica} 47 (2011) 1570-1579.
	\end{thebibliography}
	
\end{document}

